Sistema di equazioni algebriche lineari

In questa publicazione, avemu da cunsiderà a definizione di un sistema di equazioni algebriche lineari (SLAE), cumu si vede, chì tipi ci sò, è ancu cumu si prisentanu in una forma di matrice, cumpresa una estesa.

Definizione di un sistema di equazioni lineari

Sistema di equazioni algebriche lineari (o "SLAU" per brevi) hè un sistema chì generalmente s'assumiglia à questu:

• m hè u numeru di equazioni;
• n hè u numeru di variàbili.
• x₁, x₂,…, x_n - scunnisciutu;
• a₁₁,₁₂…, a_mn - coefficients per inconnus;
• b₁, b₂,…, b_m - membri gratuiti.

Indici di coefficienti (a_ij) sò furmati da i seguenti:

• i hè u numeru di l'equazioni lineari;
• j hè u numeru di a variàbile à quale si riferisce u coefficient.

Soluzione SLAU - tali numeri c₁, C₂,…, c_n , in u locu di quale invece di x₁, x₂,…, x_n, tutte l'equazioni di u sistema diventeranu in identità.

Tipi di SLAU

1. Omogeneu - tutti i membri liberi di u sistema sò uguali à zero (b₁ = b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Eterogeneu - se a cundizione sopra ùn hè micca cumpresa.
3. Square – u numeru di equazioni hè uguali à u numeru di scunnisciuti, vale à dì m = n.

   

4. Sottudeterminatu - u numeru di scunnisciuti hè più grande cà u numeru di equazioni.

   

5. annullatu Ci sò più equazioni chè variàbili.

   

Sicondu u numeru di suluzione, SLAE pò esse:

1. Joint hà almenu una suluzione. Inoltre, s'ellu hè unicu, u sistema hè chjamatu definitu, se ci sò parechje suluzione, hè chjamatu indefinitu.

   

   U SLAE sopra hè cumuna, perchè ci hè almenu una suluzione: x = 2, y = 3.

2. incompatibile U sistema ùn hà micca suluzione.

   

   I lati dritti di l'equazioni sò listessi, ma quelli di manca ùn sò micca. Cusì, ùn ci sò suluzione.

Notazione matriciali di u sistema

SLAE pò esse rapprisintatu in forma di matrice:

AX = B

• A hè a matrice formata da i coefficienti di l'incognite :

  

• X - colonna di variabili:

  

• B - colonna di membri gratuiti:

  

esempiu

Rappresentemu u sistema di equazioni sottu in forma di matrice:

Utilizendu e forme sopra, cumponemu a matrice principale cù coefficienti, culonni cù membri scunnisciuti è liberi.

Registrazione cumpleta di u sistema d'equazioni datu in forma di matrice:

Matrice SLAE estesa

Sè à a matrice di u sistema A aghjunghje a colonna di membri gratuiti à a diritta B, siparendu i dati cù una barra verticale, avete una matrice estesa di SLAE.

Per l'esempiu sopra, pare cusì:

- designazione di a matrice estesa.