Elevà un numeru cumplessu à un putere naturali

In questa publicazione, avemu da cunsiderà cumu un numeru cumplessu pò esse elevatu à un putere (cumpresu cù a formula De Moivre). U materiale teoricu hè accumpagnatu da esempi per una megliu comprensione.

Elevà un numeru cumplessu à una putenza

Prima, ricordate chì un numeru cumplessu hà a forma generale: z = a + bi (forma algebrica).

Avà pudemu andà direttamente à a suluzione di u prublema.

numeru quadru

Pudemu rapprisintà u gradu cum'è un pruduttu di i stessi fatturi, è dopu truvà u so pruduttu (mentre ricurdendu chì i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Esemplariu 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Pudete ancu aduprà, à dì u quadru di a somma:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi - b²

nota: In u listessu modu, se ne necessariu, formule per u quadru di a diferenza, u cubu di a somma / diferenza, etc.

Nè gradu

Crià un numeru cumplessu z in natura n assai più faciule s'ellu hè rapprisintatu in forma trigonometrica.

Ricurdativi chì, in generale, a notazione di un numeru s'assumiglia cusì: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Per l'esponenti, pudete aduprà La formula di De Moivre (cusì chjamatu dopu à u matematicu inglese Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

A furmula hè ottenuta scrivendu in forma trigonometrica (i moduli sò multiplicati, è l'argumenti sò aghjuntu).

Frasi 2

Crià un numeru cumplessu z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) à l'ottu gradu.

Vergogna à tè

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).