Estrazione di a radica di un numeru cumplessu

In questa publicazione, avemu da vede cumu pudete piglià a radica di un numeru cumplessu, è ancu cumu questu pò aiutà à risolve equazioni quadratiche chì u discriminante hè menu di cero.

Estrazione di a radica di un numeru cumplessu

Radice quadrata

Comu sapemu, hè impussibile di piglià a radica di un numeru reale negativu. Ma quandu si tratta di numeri cumplessi, sta azzione pò esse realizatu. Scupritemu.

Dicemu chì avemu un numeru z = -9. Per √-9 ci sò dui radichi:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Cuntrollamu i risultati ottenuti risolvendu l'equazioni z² = -9, senza scurdà chì i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Cusì, avemu dimustratu chì -3i и 3i sò radiche √-9.

A radica di un numeru negativu hè generalmente scritta cusì:

√-1 = ±i

√-4 = ± 2i

√-9 = ± 3i

√-16 = ± 4i etc.

Radica à u putere di n

Suppone chì ci sò datu equazioni di a forma z = ⁿ√w… Hà n radichi (z₀, di₁, di₂,…, z_n-1), chì pò esse calculatu cù a formula sottu:

|w| hè u modulu di un numeru cumplessu w;

φ - u so argumentu

k hè un paràmetru chì piglia i valori: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Equazioni quadratiche cù radichi cumplessi

L'estrazione di a radica di un numeru negativu cambia l'idea abituale di uXNUMXbuXNUMXb. Se u discriminante (D) hè menu di cero, allora ùn pò micca esse razzi veri, ma ponu esse rapprisintati cum'è numeri cumplessi.

esempiu

Risolvemu l'equazioni x² – 8x + 20 = 0.

Vergogna à tè

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, ma pudemu ancu piglià a radica di u discriminante negativu:

√D = √-16 = ± 4i

Avà pudemu calculà e radiche:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Dunque, l'equazioni x² – 8x + 20 = 0 hà dui radichi cunjugati cumplessi:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 - 2i