cuntenutu
In questa publicazione, avemu da cunsiderà a definizione di u rangu di una matrice, è ancu i metudi da quale si pò truvà. Analizemu ancu esempi per dimustrà l'applicazione di a teoria in a pratica.
Determinà u rangu di una matrice
Classifica di a matrice hè u rangu di u so sistema di fila o colonne. Ogni matrice hà a so fila è colonna, chì sò uguali l'una à l'altru.
Classificazione di u sistema di fila hè u numeru massimu di file linearmente indipendenti. U rangu di u sistema di colonna hè determinatu in modu simili.
Notes:
- U rangu di a matrice zero (indicata da u simbulu "θ") di ogni dimensione hè zero.
- U rangu di qualsiasi vettore di fila o vettore di colonna non zero hè uguale à unu.
- Se una matrice di ogni dimensione cuntene almenu un elementu chì ùn hè micca uguali à cero, u so rangu ùn hè micca menu di unu.
- U rangu di una matrice ùn hè micca più grande di a so dimensione minima.
- E trasfurmazioni elementari realizate nantu à una matrice ùn cambianu micca u so rangu.
Truvà u rangu di una matrice
Fringing Minor Metudu
U rangu di una matrice hè uguale à l'ordine massimu di un nonzero.
L'algoritmu hè cusì: truvà i minori da l'ordine più bassu à u più altu. Sè minore nl'ordine ùn hè micca uguali à zero, è tutti i successivi (n+1) sò uguali à 0, cusì u rangu di a matrice hè n.
esempiu
Per fà più chjaru, pigliemu un esempiu praticu è truvate u rangu di a matrice A sottu, usendu u metudu di i minori cunfini.
Vergogna à tè
Avemu trattatu cù una matrice 4 × 4, per quessa, u so rangu ùn pò esse più altu di 4. Inoltre, ci sò elementi non-zero in a matrice, chì significa chì u so rangu ùn hè micca menu di unu. Allora cuminciamu:
1. Cumincià à verificà minori di u sicondu ordine. Per principià, pigliamu duie fila di a prima è a seconda colonna.
Minore hè uguali à zero.
Dunque, andemu à u prossimu minore (a prima colonna ferma, è invece di a seconda pigliamu a terza).
U minore hè 54≠0, cusì u rangu di a matrice hè almenu dui.
nota: Se stu minore risultava uguale à cero, cuntrolleremu ancu e seguenti cumminazzioni:
Se necessariu, l'enumerazione pò esse cuntinuata in u listessu modu cù strings:
- 1 è 3;
- 1 è 4;
- 2 è 3;
- 2 è 4;
- 3 è 4.
Sì tutti i minori di u sicondu ordine eranu uguali à cero, allura u rangu di a matrice seria uguali à unu.
2. Avemu riesciutu quasi subitu à truvà un minore chì ci cunvene. Allora andemu à minori di u terzu ordine.
À u minore trovu di u sicondu ordine, chì hà datu un risultatu non-zero, aghjunghjemu una fila è una di e culonni evidenziate in verde (cumincemu da a seconda).
U minore hè diventatu zero.
Dunque, cambiamu a seconda colonna à a quarta. È nantu à u sicondu tentativu, ghjunghjemu à truvà un minore chì ùn hè micca uguali à cero, chì significa chì u rangu di a matrice ùn pò esse menu di 3.
nota: se u risultatu torna à esse zero, invece di a seconda fila, piglià a quarta più è cuntinuà a ricerca di un "bonu" minore.
3. Avà ferma à determinà minori di quartu ordine basatu annantu à ciò chì hè statu trovu prima. In questu casu, hè quellu chì currisponde à u determinante di a matrice.
Minore hè uguali à 144≠0. Questu significa chì u rangu di a matrice A pari à 4.
Riduzzione di una matrice à una forma stepped
U rangu di una matrice di passu hè uguali à u numeru di e so fila micca zero. Questu hè, tuttu ciò chì avemu bisognu di fà hè di portà a matrice à a forma apprupriata, per esempiu, usendu , chì, cum'è avemu dettu sopra, ùn cambia micca u so rangu.
esempiu
Truvate u rangu di una matrice B sottu. Ùn pigliamu micca un esempiu troppu cumplessu, perchè u nostru scopu principale hè solu di dimustrà l'applicazione di u metudu in a pratica.
Vergogna à tè
1. Prima, resta u doppiu prima da a seconda linea.
2. Avà resta a prima fila da a terza fila, multiplicata da quattru.
Cusì, avemu avutu una matrice di passi in quale u numeru di fila non-zero hè uguali à dui, dunque u so rangu hè ancu uguale à 2.